Determinantenrechner

Werte eingeben — Ergebnis aktualisiert sich sofort. Unterstützt 2×2 bis 6×6.

Größe

Dezimalstellen

Zuletzt bearbeitete Zelle: a[1,1]

What is a determinant?

A determinant is a special scalar value calculated from a square matrix. It tells you if the matrix is invertible, how it scales areas/volumes, and encodes orientation. A zero determinant means the matrix is singular (non-invertible).

Allgemeine Formel

Leibniz-Formel: det(A) = Σ_σ sgn(σ) Π_i a_i,σ(i). Praktisch nutzt man Eliminations-/Faktorisierungsverfahren für Effizienz.

2×2, 3×3, 4×4

2×2: det([[a,b],[c,d]]) = ad − bc.

3×3:

4×4: Nutze Kofaktorentwicklung oder LU; dieser Rechner verwendet intern LU.

Eigenschaften

→ det(AB) = det(A)·det(B)
→ det(Aᵀ) = det(A)
→ Zwei Zeilen tauschen → Vorzeichen wechselt
→ Eine Zeile mit k skalieren → Determinante skaliert mit k

Understanding Determinants

A complete guide to one of the most important concepts in linear algebra

What is a Determinant?

A determinant is a special scalar value that can be calculated from any square matrix (a matrix with equal rows and columns). Written as det(A) or |A|, it encapsulates fundamental properties of the matrix in a single number.

The determinant tells you whether a system of linear equations has a unique solution, whether a matrix can be inverted, and how transformations affect geometric objects like area and volume.

Geometric Interpretation

2D: Area Scaling

The absolute value of a 2×2 determinant equals the area of the parallelogram formed by the row vectors.

3D: Volume Scaling

For 3×3 matrices, the determinant represents the volume of the parallelepiped spanned by the row vectors.

Sign = Orientation

Positive determinant preserves orientation; negative means reflection. Zero means the space is "flattened."

Why Determinants Matter

📊

Solving Linear Systems

Cramer's Rule uses determinants to solve systems of equations. If det ≠ 0, a unique solution exists.

🔄

Matrix Invertibility

A matrix has an inverse if and only if its determinant is non-zero. This is fundamental in linear algebra.

📐

Eigenvalue Problems

Finding eigenvalues requires solving det(A − λI) = 0, essential in physics and engineering.

🌐

Computer Graphics

Transformations in 3D graphics use matrices. The determinant reveals if shapes are flipped or scaled.

Zero vs Non-Zero Determinant

det(A) ≠ 0

✓ Matrix is invertible
✓ Rows/columns are linearly independent
✓ System Ax = b has unique solution
✓ Full rank matrix

det(A) = 0

✗ Matrix is singular (non-invertible)
✗ Rows/columns are dependent
✗ System has no or infinite solutions
✗ Rank deficient matrix

Schneller Überblick

See It In Action

Watch how determinants are calculated step-by-step with interactive examples

2×2 Matrix

-14

3×6 − 8×4 = -14

3×3 Sarrus Rule

Singular matrix (det = 0)

Identity Matrix

Identity always = 1

Interactive Step-by-Step: 2×2 Determinant

Step 1

Start with matrix

a b c d

Step 2

Multiply diagonals

a × d = ad

b × c = bc

Step 3

Subtract products

ad − bc

Result

Determinant

det(A)

= ad − bc

Instant Results

Calculations update in real-time as you type

Flexible Sizes

Support for 2×2 up to 6×6 matrices

Step Breakdown

See the calculation process explained

Easy Export

Copy results or matrices with one click

Wie der Determinantenrechner funktioniert

Dieser Rechner liest deine Eingaben und berechnet die Determinante in Echtzeit. Für Stabilität und Performance nutzt er LU-Zerlegung mit partieller Pivotisierung. Das Ergebnis ist das Produkt der Diagonale von U, multipliziert mit dem Vorzeichen durch Zeilenvertauschungen.

Unterstützt ganze Zahlen, Dezimalzahlen und wissenschaftliche Schreibweise (z. B. 1e-3).
Unterstützt 2×2 bis 6×6. Größere Größen sind möglich, aber für Mobil-Responsivität nicht angezeigt.
Buttons Einheitsmatrix/Zufall helfen beim schnellen Testen.
Mit Dezimalstellen kannst du die Anzeige formatieren, ohne den berechneten Wert zu ändern.

Häufig gestellte Fragen

1Was ist eine Determinante?

Sie ist ein Skalar, der aus einer quadratischen Matrix berechnet wird. Geometrisch skaliert sie Flächen/Volumen und kodiert die Orientierung. Eine Determinante von 0 bedeutet, dass die Matrix singulär (nicht invertierbar) ist.

2Allgemeine Formel

Leibniz-Formel: det(A) = Σσ sgn(σ) Πi a_{i,σ(i)}. Praktisch nutzt man Eliminations-/Faktorisierungsverfahren für Effizienz.