Calculateur de déterminant

Saisissez des valeurs — le résultat se met à jour instantanément. Compatible de 2×2 à 6×6.

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Décimales

Dernière cellule modifiée : a[1,1]

What is a determinant?

A determinant is a special scalar value calculated from a square matrix. It tells you if the matrix is invertible, how it scales areas/volumes, and encodes orientation. A zero determinant means the matrix is singular (non-invertible).

Formule générale

Formule de Leibniz : det(A) = Σ_σ sgn(σ) Π_i a_i,σ(i). En pratique, on utilise l’élimination/la factorisation pour l’efficacité.

2×2, 3×3, 4×4

2×2: det([[a,b],[c,d]]) = ad − bc.

3×3:

4×4: Utilisez les cofacteurs ou LU ; ce calculateur utilise LU en interne.

Propriétés

→ det(AB) = det(A)·det(B)
→ det(Aᵀ) = det(A)
→ Permuter deux lignes → le signe change
→ Multiplier une ligne par k → le déterminant est multiplié par k

Understanding Determinants

A complete guide to one of the most important concepts in linear algebra

What is a Determinant?

A determinant is a special scalar value that can be calculated from any square matrix (a matrix with equal rows and columns). Written as det(A) or |A|, it encapsulates fundamental properties of the matrix in a single number.

The determinant tells you whether a system of linear equations has a unique solution, whether a matrix can be inverted, and how transformations affect geometric objects like area and volume.

Geometric Interpretation

2D: Area Scaling

The absolute value of a 2×2 determinant equals the area of the parallelogram formed by the row vectors.

3D: Volume Scaling

For 3×3 matrices, the determinant represents the volume of the parallelepiped spanned by the row vectors.

Sign = Orientation

Positive determinant preserves orientation; negative means reflection. Zero means the space is "flattened."

Why Determinants Matter

📊

Solving Linear Systems

Cramer's Rule uses determinants to solve systems of equations. If det ≠ 0, a unique solution exists.

🔄

Matrix Invertibility

A matrix has an inverse if and only if its determinant is non-zero. This is fundamental in linear algebra.

📐

Eigenvalue Problems

Finding eigenvalues requires solving det(A − λI) = 0, essential in physics and engineering.

🌐

Computer Graphics

Transformations in 3D graphics use matrices. The determinant reveals if shapes are flipped or scaled.

Zero vs Non-Zero Determinant

det(A) ≠ 0

✓ Matrix is invertible
✓ Rows/columns are linearly independent
✓ System Ax = b has unique solution
✓ Full rank matrix

det(A) = 0

✗ Matrix is singular (non-invertible)
✗ Rows/columns are dependent
✗ System has no or infinite solutions
✗ Rank deficient matrix

Décomposition rapide

See It In Action

Watch how determinants are calculated step-by-step with interactive examples

2×2 Matrix

-14

3×6 − 8×4 = -14

3×3 Sarrus Rule

Singular matrix (det = 0)

Identity Matrix

Identity always = 1

Interactive Step-by-Step: 2×2 Determinant

Step 1

Start with matrix

a b c d

Step 2

Multiply diagonals

a × d = ad

b × c = bc

Step 3

Subtract products

ad − bc

Result

Determinant

det(A)

= ad − bc

Instant Results

Calculations update in real-time as you type

Flexible Sizes

Support for 2×2 up to 6×6 matrices

Step Breakdown

See the calculation process explained

Easy Export

Copy results or matrices with one click

Comment fonctionne le calculateur de déterminant

Ce calculateur lit vos valeurs et calcule le déterminant en temps réel. Pour la stabilité numérique et les performances, il utilise une décomposition LU avec pivot partiel. Le résultat est le produit de la diagonale de U multiplié par le signe dû aux échanges de lignes.

Gère les entiers, décimales et la notation scientifique (ex. 1e-3).
Prend en charge de 2×2 à 6×6. Des tailles plus grandes sont possibles mais non affichées pour le mobile.
Les boutons Identité/Aléatoire permettent de tester rapidement.
Ajustez Décimales pour formater l’affichage sans modifier la valeur calculée.

Foire aux questions

1Qu’est-ce qu’un déterminant ?

C’est un scalaire calculé à partir d’une matrice carrée. Géométriquement, il met à l’échelle les aires/volumes et encode l’orientation. Un déterminant nul signifie que la matrice est singulière (non inversible).

2Formule générale

Formule de Leibniz : det(A) = Σσ sgn(σ) Πi a_{i,σ(i)}. En pratique, on utilise l’élimination/la factorisation pour l’efficacité.